Arquímedes de Siracusa ( II )

Su fascinación con la geometría es bellamente descrita por Plutarco:

A menudo los criados de Arquímedes le llevaban a los baños contra su voluntad, para lavarle y ungirle, y aun estando allí, siempre estaba dibujando figuras geométricas, incluso en las mismas cenizas de la chimenea. Y mientras lo estaban ungiendo con aceites y dulces perfumes, con sus dedos dibujaba líneas sobre su cuerpo desnudo, hasta tal punto estaba fuera de si, y llevado a un éxtasis o trance, con el deleite que tenía en el estudio de la geometría.

Los logros de Arquímedes son bastante sobresalientes. Es considerado por la mayoría de los historiadores de las matemáticas como uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos. Perfeccionó un método de integración que le permitía encontrar áreas, volúmenes y áreas superficiales de muchos cuerpos. Chasles dijo que el trabajo de Arquímedes en la integración (ver [7]):

... dio origen al cálculo del infinito concebido y llevado a la perfección por Kepler, Cavalieri, Fermat, Leibniz y Newton.

Arquímedes fue capaz de aplicar el método del agotamiento, que es el prefio de la integración, para obtener todo un rango de importantes resultados y mencionamos algunos de ellos en las descripciones de su trabajo citadas más abajo. Arquímedes también dio una precisa aproximación de π (el número Pi) que podía aproximar las raíces cuadradas con precisión. Inventó un sistema para expresar números grandes. En mecánica Arquímedes descubrió teoremas fundamentales concernientes al centro de gravedad de las figuras planas y los sólidos. Su más famoso teorema da el peso de un cuerpo inmerso en un líquido, llamado el principio de Arquímedes.

Los trabajos de Arquímedes que han sobrevivido son los que siguen. Sobre los equilibrios del plano (dos libros), Cuadratura de la parábola, Sobre la esfera y el cilindro (dos libros), Sobre las espirales, Sobre las cónicas y esferoides, Sobre los cuerpos flotantes (dos libros), Medidas de un círculo, y El Arenario. En el verano de 1906, J L Heiberg, profesor de filología clásica en la Universidad de Copenhague, descubrió un manuscrito del siglo X que incluía el trabajo de Arquímedes El método. Esto proporciona un destacable acercamiento a cómo Arquímedes descubrió muchos de sus resultados y discutiremos esto más abajo una vez que hayamos dado más detalles de lo que hay en los libros supervivientes.

El orden en que Arquímedes escribió sus libros no se conoce con certeza. Hemos usado el orden cronológico sugerido por Heath en [7] al relacionar estos trabajos a continuación, excepto para El Método que Heath ha situado inmediatamente antes de Sobre la esfera y el cilindro. El artículo [47] se fija en argumentos para un orden cronológico diferente de los trabajos de Arquímedes.

El tratado Sobre los equilibrios del plano parte de los principios fundamentales de la mecánica, usando los métodos de la geometría. Arquímedes descubrió teoremas fundamentales concernientes al centro de gravedad de las figuras planas y éstos se dan en este trabajo. En particular encuentra, en el libro 1, el centro de gravedad de un paralelogramo, un triángulo, y un trapecio. El libro segundo está dedicado íntegramente a hallar el centro de gravedad de un segmento de una parábola. En Cuadratura de la parábola Arquímedes halla el área de un segmento de una parábola cortado por cualquier cuerda.

En el primer libro de Sobre la esfera y el cilindro Arquímedes muestra que la superficie de una esfera es cuatro veces la de un gran círculo, halla el área de cualquier segmento de una esfera, muestra que el volumen de una esfera es dos tercios el volumen de un cilindro cincunscrito, y que la superficie de una esfera es de dos tercios la superficie de un cilindro circunscrito incluyendo sus bases. Una buena discusión de cómo Arquímedes pudo haber sido llevado a alguno de estos resultados usando los infinitesimales se da en [14]. En el segundo libro de este trabajo, el resultado más importante de Arquímedes es mostrar cómo cortar una esfera dada por un plano de forma que la razón de los volúmenes de los dos segmentos tenga una razón prescrita.

En Sobre las espirales Arquímedes define una espiral, da las propiedades fundamentales que conectan la longitud del radio vector con los ángulos a través del cual ha revolucionado. Da los resultados sobre las tangentes a la espiral al igual que halla el área de las porciones de la espiral. En el trabajo Sobre las cónicas y esferoides Arquímedes examina las parábolas de revolución, hpérbolas de revolución, y los esferoides obtenidos por la rotación de una elipse tanto sobre su eje mayor como sobre su eje menor. El principal propósito del trabajo es investigar el volumen de los segmentos de estas figuras tridimensionales. Algunos pretenden que hay una falta de rigor en la certeza de los resultados de este trabajo pero la interesante discusión de [43] lo atribuye a una reconstrucción moderna.

Sobre los cuerpos flotantes es un trabajo en el que Arquímedes establece los principios básicos de la hidrostática. Su más famoso teorema que da el peso de un cuerpo sumergido en un líquido, llamado el principio de Arquímedes, está contenido en este trabajo. El también estudió la estabilidad de varios cuerpos flotantes de diferentes formas y diferentes gravedades específicas. En Medición del Círculo Arquímedes muestra que el valor exacto de π se situa entre los valores 310/71 y 31/7. Esto lo obtuvo circunscribiendo e inscribiendo un círculo con polígonos regulares que tenían 96 lados.

El arenario es un destacable trabajo en el que Arquímedes propone un sistema numérico capaz de expresar números hasta 8 x 10⁶³ en notación moderna. Argumenta en este trabajo que este número es lo suficientemente grande para contar el número de granos de arena que podrían caber en el universo. También hay importantes notas históricas en este trabajo, ya que Arquímedes tiene que dar las dimensiones del universo para ser capaz de contar el número de granos de arena que podría contener. El constata que Aristarco ha propuesto un sistema con el Sol en el centro y los planetas, incluida la Tierra, girando a su alrededor. En los mencionados resultados sobre las dimensiones el expresa resultados debidos a Eudoxo, Fidias (su padre), y a Aristarco. Hay otras fuentes que mencionan el trabajo de Arquímedes sobre las distancias a los cuerpos celestes. Por ejemplo en [59] Osborne reconstruye y discute:

...una teoría de las distancias de los cuerpos celestes atribuida a Arquímedes, pero el estado corrupto de los números en el único manuscrito superviviente [atribuido a Hipólito de Roma, alrededor del 220 D.C] significa que el material es difícil de manipular.

En el Método, Arquímedes describió la forma en que descubrió muchos de sus resultados geométricos (ver [7]):

... ciertas cosas me quedaron claras por un método mecánico, aunque tenían que ser probadas por la geometría posteriormente porque su investigación por el método dicho no proporcionaba una prueba real. Pero esto es por supuesto más fácil, cuando hemos previamente adquirido, por el método, algún conocimiento de las preguntas, para suministrar la prueba que es encontrarla sin ningún conocimiento previo.

Quizás la brillantez de los resultados geométricos de Arquímedes esté mejor resumida por Plutarco, que escribe:

No es posible hallar en toda la geometría cuestiones más difíciles e intrincadas, o más simples y lúcidas explicaciones. Algunos atribuyen esto a su genio natural; mientras que otros creen que fue un increíble esfuerzo y trabajo el que produjo, según parece, fáciles y poco elaborados resultados. Ninguna cantidad de investigación tuya tendría éxito ateniéndote a la demostración, y con todo, una vez vista, crees inmediatamente que tu lo habrías descubierto; a causa del camino tan llano y tan rápido por el que te conduce a la conclusión requerida.

Heath añade su opinión a la calidad del trabajo de Arquímedes [7]:

Los tratados son, sin excepción, monumentos de exposición matemática; la revelación gradual del plan de ataque, la maestría ordenando las proposiciones, la estrica eliminación de todo lo que no es inmediatamente relevante para el propósito, la finalización del conjunto, son tan impresionantes en su perfección como para crear un sentimiento semejante al miendo en la mente del lector.

Hay referencias a otros trabajos de Arquímedes que ahora están perdidos. Papo (Pappus de Alejandría) refiere un trabajo de Arquímedes sobre los poliedros semi-regulares, el mismo Arquímedes se refiere a un trabajo sobre el sistema numérico que propuso en El Arenario, Papo menciona un tratado Sobre equilibios y palancas, y Teón menciona un tratado de Arquímedes sobre espejos. Las evidencias de de más trabajos perdidos se discuten en [67] pero la prueba no es totalmente convincente.

Arquímedes fue asesinado en el 212 A.C. durante la captura de Siracusa por los romanos en la Segunda Guerra Púnica después de que todos sus esfuerzos por mantener a los romanos en apuros con sus máquinas de guerra hubieron fallado. Plutarco relata tres versiones de la historia de su asesinato que habían llegado hasta él. La primera versión:

Arquímedes ... estaba ..., como cosa del destino, intentando resolver algún problema mediante un diagrama, y habiendo fijado su mente al igual que sus ojos en el objeto de su especulación, nunca notó la incursión de los romanos, ni que la ciudad era tomada. En su trance de estudio y contemplación, un soldado, llegándose inesperadamente a él, le ordenó seguir a Marcelo; lo que él declinó hacer antes de que hubiera resuelto su problema con una demostración, el soldado, enfurecido, sacó su espada y le atravesó.